Sous-algèbres de Cartan pour les algèbres de courants tordues

Description

Les algèbres de Lie sont d'importantes structures algébriques qui apparaissent en plusieurs contextes des mathématiques pures et appliquées, par exemple, dans les équations différentielles partielles, dans la théorie des champs quantiques, en mécanique classique et quantique, et même en certains problèmes ouverts dans la théorie de la structure et des représentations d'objets classiques provenant de la théorie des groupes algébriques et géométriques. En particulier, les algèbres de Lie de dimension infinie sont responsables pour une bonne partie du progrès de ce domaine (et de ses applications physiques) au cours des cinquante dernières années.
Leur structure (comment les décrire et les classifier d'une manière raisonnablement concrète) et leur théorie des représentations (comment elles agissent comme des transformations des espaces géométriques et physiques) sont typiquement abordées en utilisant de grandes sous-algèbres abéliennes qui s'appellent «les algèbres de Cartan», qui agissent comme des familles des opérateurs linéaires qui sont simultanément diagonalisables sur les algèbres de Lie et les espaces sur lesquels ces algèbres de Lie agissent.
Malheureusement, certaines nouvelles algèbres de Lie de dimension infinie ne sont pas encore étudiées du point de vue des sous-algèbres de Cartan et de la décomposition en espaces propres communs. Celui-ci reste un des obstacles principaux pour l'avancement de ce domaine. Le but de ce projet est d'initier l'étudiant à la théorie de Lie et ensuite de faire une étude approfondie des sous-algèbres de Cartan de certaines algèbres de Lie concrètes.